Ho quasi risolto: ho creato una servlet tramite eclipse con il metodo init che inizializza la mia applicazione, ho messo tutte le librerie di Quartz nella cartella WEB-INF/lib. Ho modificato il file web.xml con il tag <load-on-startup>1</load-on-startup> in modo che la servlet parta automaticamente non appena avvio tomcat. Poi ho creato il war e l'ho depolyato su Tomcat. Quando faccio partire Tomcat l'applicazione parte automaticamente e funziona: tramite Quartz ogni ora esegue il controllo ed eventualmente manda i messaggi.

Grazie a tutti!!!