1) non capisco a cosa servono le parentesi dopo $mail_body
2) Non è chiusa la parentesi graffa dell if
3) Il tuo mail non invia nessun header
4) La funzione mail restituisce TRUE se l'email è stato processato, ma non da nessuna garanzia sul fatto che venga realmente ricevuto dal destinatario.
5) Se lavori in locale: Hai configurato correttamente php.ini per l'invio di email?