Ecco l'aiutino da casa
Se noti alle righe da 54 a 57 dello script vengono inviati gli header per il browser per forzare il download del file che viene creato dalle funzioni: basta che elimini gli header e inserisci l'output della funzione _mysqldump() in un file che chiamerai con il nome che preferisci. Ovviamente dovrai dare allo script il percorso corretto dove vuoi che il dump sia salvato.

Insomma, parti dalla funzione e correggi la parte che riguarda il salvataggio del file: sul forum o sul web troverai tante guide che ti aiuteranno per creare il codice di inserimento del testo in un file (alla fine di quello si tratta).
Se poi ti serve altro aiuto, posta il codice che ti diamo una mano.