Semplicemente non puoi farlo con del codice vb.net.

Sul client spetta sempre all'utente decidere di stampare.
Puoi creare dei file di scripting vbs o simili per avviare la stampa senza che l'utente veda aprirsi acrobat reader, ma spetta all'utente decidere di eseguirlo.

Ma è assolutamente sconsigliato:

- non si dovrebbe mai fare eseguire del codice vbs o simile che proviene da un sito web.
- molti antivirus e firewall bloccano queste operazioni.
- potrebbero non usare Windows o non avere installato Acrobat.

Sotto Windows ed usando Internet Explorer puoi creare un ActiveX che installato ed accettato dall'utente la prima volta può risolverti il problema.

Ripeto meglio inviare il file PDF all'utente e lasciare a lui la scelta di cosa fare.