Sì devi controllare i log (per eventuali errori) e le mail che tornano indietro (se tornano..., magari impostando un indirizzo reply-to o catchall).
Potrebbe essere un problema anche a livello del dominio, prova a impostare un record PTR a livello DNS.
Però come prima cosa dovresti scoprire qual'è il problema con libero e alice (errore 550-Verification Failed? oppure rigettate per spam?...)
Ciao
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