session_start() va dichiarato in ogni pagina nella quale si intende accedere ad una variabile di sessione.

Quando torni alla pagina iniziale, se $user non è valorizzato, ovviamente ti svalorizza anche la variabile di sessione. Dunque, ad esempio potresti fare (anche se nono so bene cosa c'é prima e dopo)

Codice PHP:
if(!isset($_SESSION['name'])
{
    $_SESSION['name'] = $user;
}