L'autenticazione la fa la funzione che hai già pronta.
Prova a mettere in una pagina la funzione e poi

print_r(autentication($user, $password));

dando i valori giusti a $user e $password


così vedi cosa ti restituisce il server.

quando hai scoperto come si chiama la variabile che vuoi salvare ti guardi sul manuale php le funzioni dedicate alla gestione delle sessioni ed il gioco è fatto (se sai fare almeno in if else)