Penso di aver capito adesso. Ho messo il session_start() a inizio pagina e non solo nel blocco di codice del login correttamente effettuato. In questo modo la sessione resta attiva fino a chiusura browser e la variabile di sessione mantiene il nome dell'user connesso.

Adesso mi chiedo solo, se la variabile di sessione viene riempita nella pagina login.php, nella pagina home.php se faccio un session_start() la variabile viene comunque riconosciuta con il valore assegnato in login giusto? (scusate è un po' contorto detto così).

Grazie per le risposte