io uso mysqldump in questo modo :

mysqldump --host=$host --user=$user --password=$password $database > /home/diego/Scrivania/db.sql

1)non serve scrivere "/usr/bin/mysqldump" ma soltanto "mysqldump"

2)devi inserire il path completo di dove vuoi eseguire il dump del DB

3)ti appare la scritta "Backup eseguito" perchè non controlli che "system($cmd)" venga eseguito, infatti l'unica IF che compare nel tuo codice si riferisce alla connessione del DB

4)ultimo punto ma non meno importante devi verificare che il tuo hosting ti dia accesso alla shell altrimenti non puoi farci niente