La Process.Start avvia il processo sul PC su cui viene eseguito il codice che la contiene, per cui in quel modo tenteresti di avviare Adobe Reader sul server (che tra l'altro probabilmente non potrebbe partire visto che il servizio in cui viene eseguito IIS è a bassi privilegi).
Per far visionare il PDF, inserisci semplicemente un link ad esso (che ovviamente deve essere accessibile tramite il tuo webserver), ci penserà il PC dell'utente ad aprirlo con il programma corretto.

Per inciso, per aprire un PDF in un programma lato client inserire percorsi "fissi" come hai fatto è quanto di peggio, usa piuttosto come FileName il percorso del file da aprire e assicurati che UseShellExecute sia a True.