n mod m restituisce sempre un numero tra 0 ed m-1.
rand() % 15 dunque ti da da 0 a 14. se ci aggiungi 5, ottieni un range da 5 a 19.
Per generare un intero da a a b, parti da a (la costante) e ci aggiungi quello che ti serve per arrivare massimo a b:

Codice PHP:
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>

int main()
{
    
srand(time(NULL));
    
int random_int;
    
    do {
        
random_int rand()%11 5//<- così
    
} while(random_int == 5);
    
    do {
        
random_int rand()%11 5;
    } while(
random_int == 15);
    
    
printf("Fine\n");
    
}

5 più un intero che va da 0 a 10 un intero da 5 a 15