Aggiungi le parentesi
SELECT * FROM utente WHERE id_utente = '$_SESSION[id_utente] AND ";
$query .= "(utenti.nome LIKE '%$ricercato%' || utenti.cognome LIKE '%$ricercato%')
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$query .= "(utenti.nome LIKE '%$ricercato%' || utenti.cognome LIKE '%$ricercato%')