Beh, la pagina punteggio funziona perché i dati gli arrivano in post, non tramite sessione.
La sessione, nell'assegnazione del suo valore, va trattata come una variabile, proprio come ho scritto:
$_SESSION['chiave'] = 'valore';
ma non essendo dati sensibili ti consiglio i cookie, così non devi aprire la sessione e distruggerla.
Ti fai un cookie che si autodistrugge dopo qualche secondo, tempo necessario per far passare il dato che ti serve.
Prova con i cookie. Tentar non nuoce...