Puoi provare sostituendo questo codice:
codice:
protected void ButtonInserisci_Click(object sender, EventArgs e)
{
   ListBoxElementiScelti.Items.Add(ListBoxElementiSpesa.SelectedItem.Text);
}
Con questo:
codice:
protected void ButtonInserisci_Click(object sender, EventArgs e)
{
   ListBoxElementiScelti.Items.Add(ListBoxElementiSpesa.SelectedItem);
}
Da quello che ho capito l'errore dice: che ListBoxElementiSpesa.SelectedItem.Text non è riferito a nulla