il fatto che ti dice "Messaggio inviato con successo" significa che la funzione mail è stata eseguita correttamente. Se non vuoi che dopo l'invio del form vai su un altra pagina allora ti conviene copiare la parte di php con la funzione mail nella pagina del form html su all'inizio come per es:

Codice PHP:
<?php
// qui ci metti quello che prima avevi in mail.php
?>
<html>
// qui il form html
</html>
poi nel form cambi il target inviando il form a se stesso, ora non so come si chiama la pagina del form, nel caso sia un html la devi logicamente rinominare in .php:

Codice PHP:
<form id="formail" method="post" action="nomedellapaginadelformhtml.php"> 
per quanto riguarda il reply-to, ti ho postato sopra un esempio, inserisci la riga dell'header subito sotto il from...