E' probabile che ci siano degli errori in fase di estrazione dal DB devi gestirli in questo modo:

codice:
$var1=$_POST['var1'];

if ($var1!=null)
{
$connessione=mysql_connect($host,$nome,$password);
$sql= "SELECT Nome, Cognome FROM utenti WHERE id_utente="$var1"";
$result = mysql_query($sql) or die(mysql_error()); 
$array = mysql_fetch_array($result);
echo "Nome : " . $array['Nome'] . "
Cognome: " . $array['Cognome'];

}
Concateno le stringhe per risparmiare spazio :-)