Se per "gestore" della eccezione intendi un metodo che "incapsula" la visualizzazione (a video) e/o log (su file/db/ecc...) e/o altro, allora potrebbe sicuramente andare bene un banale metodo "di classe" (static) che incapsula tutta la gestione, da invocare poi es. ExceptionHandler.handle(e).

Se invece per "gestore" intendi un oggetto che incapsula la eccezione e/o altre informazioni relative, magari da usare anche in tempi successivi, allora sarebbe bene istanziare l'oggetto e ovviamente passare la eccezione al costruttore. E chiaramente la classe fornisce all'esterno dei metodi per avere informazioni sulla eccezione, sulle operazioni possibili (es. stampa a video ecc...).

Ma si potrebbero scegliere anche altre strade, magari intermedie .... dipende tutto da cosa/come vuoi "modellare" le cose.