Credo che il problema sia nel "display: none" dei blocchi nascosti: vengono proprio tolti dalla pagina.

Se al suo posto si usa il "visibility: hidden", la ricerca avviene regolarmente (o almeno dovrebbe).

Cambiare il display con visibility pero` non e` semplice. Dovresti vedere se trovi dei menu realizzati con il visibility anziche` con il display.

Tra i "lilnk utili" del forum ci sono alcuni riferimenti a raccolte di menu; in alternativa cerca in rete.