allora...per fare il popup devi utilizzare javascript; in seconda battuta (e qui riprendo i "colleghi" del forum che giustamente hanno mosso appunti sulla sicurezza) ti conviene fare comunque controlli nella pagina php per evitare di ricevere i campi vuoti da chi invia il form e ha javascript disabilitato!
Quindi:

1. per il controllo lato client (senza ricaricare la pagina), devi modificare il tag form per chiamare una funzione che controlli il codice...tipo:

Codice PHP:
<form id="form1" name="form1" method="post" class="corpo-testo" action="forminvio.php" onSubmit="return Controllo();"
e ovviamente avere la funzione Controllo(), che sarà qualcosa tipo:

Codice PHP:

<script type="text/javascript">
<!--
   function 
Controllo(){
      if(
document.form1.nome.value==""){
         
alert("Attenzione!! Non hai inserito il nome!");
         return 
false;
      }
      if(
document.form1.ragione_sociale.value==""){
         
alert("Attenzione!! Non hai inserito la Ragione Sociale!");
         return 
false;
      }
     
// ecc....
   
}

//-->
</script> 
ovviamente ci sono altri modi per controllare, anche un ciclo tra i vari elementi, se cerchi ne trovi a pacchi di validatori di form in javascript...

2. una volta inviato il form, fai controlli di tipo (è un esempio per renderti l'idea):

Codice PHP:

if($_POST['nome']!="" && $_POST['ragione_sociale'] != "" && $_POST['email!="" && $_POST['messaggio'] != ""){

   // invio la mail SOLO se i campi nome, ragione sociale, email e messaggio NON sono vuoti
}
else{
   
   // mando un output dell'
errore o carico una pagina predefinitaecc...