Forse ho trovato il problema. Questo script funziona perfettamente su un altro sito che ho realizzato, ma era in PHP4. Ora sto utilizzando il PHP5 (e non posso tornare al 4) e mi da appunto il problema descritto sopra (cioè: l'allegato lo invia, ma non invia il testo).

da phpmailer.worxware.com ho scaricato la nuova versione per PHP5, però nel momento dell'invio mi da questo:

Codice PHP:
Upload terminato con successo:
Nome filebellerose.zip
Dimensione file
8189
Tipo MIME file
application/octet-streamInvalid addresswefMessage body empty Message body empty 
E non mi invia nulla!