<html>
<head>
<script language="javascript">

function elemento(obj)
{
var el = document.getElementsByTagName('input');
for(i=0; i<el.length; i++){
if(el[i].getAttribute("type") == 'text' && obj=='cane'){
el[i].className='mostra';
}else{el[i].className='nascondi'}
}
}
</script>
<style>
.nascondi{display:none;}
.mostra{display:block;}
</style>
</head>
<body>


<h3>Form di inserimento</h3></p>

<form method="POST" action="inserimento.php" name="modulo">
<table>

<tr>
<td align="right">
Inserisci il tipo di animale che possiedi:</td>
<td>
<select name="immobile" onChange="elemento(this.options[this.selectedIndex].value);">
<OPTION value=cane>Cane</option>
<OPTION value=gatto>Gatto</option>
</select>
</td>
</tr>

<tr>
<td align="right">
Nome animale:</td>
<td>
<input type="text" name="animale" id="animale" classe="nascondi"></td>
</tr>

<tr>
<td align="right">
Razza:</td>
<td>
<input type="text" name="razza" id="razza" classe="nascondi"></td>
</tr>


</table>
</form>
</body>
</hmtl>
Regola assoluta imprescindibile gli id devono essere univoci

P.S. Prima si studia poi si applica non il contrario