Prova così poi vediamo (modifiche in rosso)

$headers = "MIME-Version: 1.0\r\n";
$headers .= "content-type: text/html; charset=iso-8859-1\r\n";
$headers .= "X-Mailer: PHP\n";
$headers .= "From:TUAMAIL<xxx@alice.it>\r\n";

$a="xxx@alice.it ";
$oggetto="oggetto mail";
$messaggio="messaggio mail";
//invio mail ogni 3 secondi, utilizza la funzione sleep()
sleep(3);
mail($a, $oggetto, $messaggio, $headers);

Tieni presente che questo codice le invia da TUAMAIL e arriva a TUAMAIL