L'errore che ricevi è dovuto al fatto che la query non va a buon fine per cui il resultset che passi alla funzione mysql_fetch_array() non è valido.

Prova a modificare il codice così e vedi che errore ti restituisce:

Codice PHP:
$query ="SELECT produttore, COUNT (*) FROM giochi GROUP BY produttore";
$result = mysql_query($query,$db) or die ("Errore: ".mysql_error());

while ($row = mysql_fetch_array($result)) echo $row[produttore]; 
Ti consiglio di inserire sempre la funzione mysql_error() in fase di esecuzione delle query, almeno così hai visibilità di ciò che accade in caso di errore.