Non ho capito il ciclo for() all'interno dell'evento aggiungi_Click(). Ad ogni modo ti serve un contatore, dichiarato nei membri privati della classe, che dovrai incrementare ad ogni nuovo inserimento. In questo modo:
codice:
            if (nome.Text != "" && cognome.Text != "")
            {
                StringNome[intContatore]= nome.Text;
                Stringcognome[intContatore] = cognome.Text;
                Stringdatadinascita[intContatore] = datadinascita.Text;
                ris.Text = "Dati aggiunti con successo";

                intContatore++;               
            }
            else ris.Text = "Non hai inserito alcun valore";
Nell'evento cerca_Click() basterà iterare tra gli elementi dell'array partendo dall'indice 0 fino a intContatore - 1.