Ciao,

certo che serve php, js lavora in locale quindi non può scrivere file sul server.

Il form devi modificarlo un po':

codice:
      <form action="pagina.php" method="post">
         <input type="text" name="casella_1">
         <input type="text" name="casella_2">
         <input type="submit" value="invia">
      </form>
cioè devi dare un nome ad ogni casella e indicare la pagina php da chiamare e il metodo di trasmissione dei dati.

Poi fai la pagina.php in questo modo

codice:
<?php
// nome del file in cui inserire i testi
   $file = "./filetesti.txt";

// apre il file in modalità "append", se non esiste lo crea
   $fp = fopen($file, "a");

// inserisce i valori ricevuti dal form in coda al file
   fputs($fp, htmlspecialchars($_POST["casella_1"]) . " " . htmlspecialchars($_POST["casella_2"]) . "\r\n");

// chiude il file
   fclose($fp);
?>

<font size="5">Fatto</font>

Ciao