Ciao Michela,
a me funziona benissimo il codice.
La probabile causa potrebbe essere nei permessi della cartella.

Infatti io Doc.Load(path)
l'ho modificato in
Doc.Load(Server.MapPath("~/App_Data/Anagrafica.xml"))

in modo che il file xml sia nella cartella App_Data (con i suoi permessi).

Chiaramente ho modificato anche il Doc.Save(path)


Ciao