dipende da che protocollo utilizzi per scaricare le email, questo lo verifichi da strumenti->impostazioni account e alla voce impostazione server. Se utilizzi il protocollo pop3 le email vengono scaricate e salvate sul pc, mentre utilizzando il protocollo imap le tue email vengono conservate anche sul server.
Comunque puoi utilizzare il protocollo pop3 e spuntare la voce "lascia i messaggi sul server" e decidere da qui come vuoi organizzarti...