Ti consiglio di studiarti un po' le funzioni di MySql.

mysql_fetch_assoc torna un array, non il singolo valore da te cercato.

Prova con mysql_fetch_row, funzione che invece ti torna (sempre un array) ma contentente una sola riga di ciò che hai cercato.

Codice PHP:
$query mysql_query("SELECT * FROM eventi ORDER BY id LIMIT 1") or die ("Non è stato possibile collegarsi al database eventi".mysql_error()); 

$ultimo_evento=mysql_fetch_row($query); 

// nel caso tu assegni indici numerici, sarà l'ordine dei campi della tua tabella eventi (tipo evento_id, evento_nome... e capisci che puoi usare un ciclo per scorrerli automaticamente
echo $ultimo_evento[0]; 
echo 
$ultimo_evento[1]; 

// oppure se vuoi il valore direttamente via nome del campo
echo $ultimo_evento['evento_id']; 
Ti consiglio una letta a:

http://it.php.net/manual/en/function...-fetch-row.php
http://it.php.net/manual/en/function...etch-array.php
http://it.php.net/manual/en/function...etch-assoc.php