$("#table1 tr + tr").remove();

oppure

$("#table1 tr:nth-child(n+1)").remove();


la funzione quindi potrebbe diventare solo

codice:
function elimina_righe()
{
        if (confirm("Confermi l'eliminazione di tutte le righe?")) {
           $("#table1 tr:nth-child(n+1)").remove();
        }
}

precisazione a margine: la prima riga con l'intestazione dovrebbe trovarsi in un <thead> e le righe in un <tbody> nel qual caso ti basterebbe $("#table1 tbody tr").remove();