Ti vado ad elencare i valori delle variabili
$_SESSION['user'] // metto il valore username, passato tramite il form di login, in sessione
$contenuto = $_POST['user'] //assegno a contenuto il valore della username passata per poi inserirla come contenuto del cookie potevo anche non farlo ma mettendo contenuto rende la lettura più facile a una modifica futura..

$COOKIE['xxx'] // non ho xxx è solo per non mettere il reale contenuto non si sà mail

Per quanto riguarda il print_r l'ho fatto e vedo il valore inserito mentre ho provato a stampare il contenuto del cookie e non viene stampato nulla per questo dico che il problema sta nel cookie il suo contenuto è quanto segue:

Nome: PHPSESSID
Contenuto: 7ea5fe0519eb2ef9224910402db1f119

E questo numero è effettivamente un file creato per la sessione, dentro la cartella impostata con session_save_path solo che il file davanti al numero ha la stringa sess_

Secondo me il salvataggio delle sessioni in una cartella mi ha incasinato l'invio del cookie..