Si, infatti con A = B tutte e due variabili puntano sullo stesso oggetto.

Ma non capisco cosa vuoi fare perché parti di un presupposto sbagliato, un array di rango superiore non si può copiare in uno di rango inferiore (B ha 3 elementi e A ne ha 2).
Ti consiglio di utilizzare un ArrayList direttamente o fare una conversione con Arrays.asList();

String[] a = {"cane", "gatto"};
String[] b = {"tigre", "leone", "lepre"};

List<String> listaA = new ArrayList<String>();
listaA.addAll(Arrays.asList(b));

System.out.println(listaA);

ciao