SQL Express è la versione ridotta e gratuita del "normale" SQL Server ed è comprensiva sia della parte server (installabile anche su sistemi operativi "non server" come ad esempio XP) che del client SQL Management Studio utilizzato appunto per collegarsi al server ed eseguire le varie operazioni

Se hai effettuato l'installazione di default dovresti aver installato anche la parte server; fai attenzione che nel caso di SQL Express l'instanza che viene installata non è quella di default (corrispondente al nome della macchina) ma una il cui nome è "NOMEPC\SQLEXPRESS" ed è quindi a questa che ti devi collegare