Ah non l'avevo visto la prima volta

Se stringa[i] != '0' incrementa cont
e se è uguale ?
O meglio, se è uguale dopo che ha trovato il terminatore ?
continua ad incrementare cont

Prova così:
codice:
cont = 1;
for(i=0;i<20;i++) {
  if(string[i]!='\0') 
    cont++;
  else
    break;
}
cont fallo partire da 1 sennò ti da una posizione in meno