Come mi è stato suggerito ho evitato l'uso di getResourceAsStream e tutto è andato a posto.
L'ho sostituito con il metodo ServletConfig.getServletContext().getRealPath("/") che restituisce il path assoluto alla cartella root del Web Service.
Poi a questo path ho cancatenato il path relativo al file Sys.conf e ho passato la nuova stringa come parametro al costruttore di FileOutputStream. Così funziona tutto.

codice:
.....
String path=context.getServletContext().getRealPath("/");
Properties p=new Properties();
	try{
		FileInputStream fis=new FileInputStream(path+"WEB-INF/conf/Sys.conf");
		p.load(fis);
		fis.close();
		p.setProperty("dataUltimoBackup", SystemManager.DATA_ULTIMO_BACKUP);
		p.setProperty("oraUltimoBackup", SystemManager.ORA_ULTIMO_BACKUP);
		FileOutputStream fos=new FileOutputStream(path+"WEB-INF/conf/Sys.conf");
		p.store(fos, null);
		fos.close();
	} catch(Exception e){
		logger.fatal("Errore: forse il file di configurazione di sistema è stato spostato 
                              oppure non esiste. Controllare il file di configurazione di sistema.");
	}
....
Grazie mille!!!! Non credo che da solo ci sarei riuscito!