Ho copiato il tuo codice commentando le righe

$messaggio->IsSMTP();
$messaggio->Host='Host SMTP';

e aggiungedo degli apici qua e là (ma non so se il problema era tuo o se erano stati eliminati da questo forum) e a me funziona.
Hai per caso aperto il file class.phpmailer.php? Magari è stato modificato per sbaglio... a me succede spesso di fare cavolate del genere

Codice PHP:
<?php
//includiamo la classe PHPMailer
require "inviomail/class.phpmailer.php";

//istanziamo la classe
$messaggio = new PHPmailer();

# usiamo un server smtp per l'invio? se sì, impostare correttamente il server (es.: smtp.server_da_utilizzare.it)
# 'Host SMTP' va modificato di sicuro, se si usa l'smtp
/*$messaggio->IsSMTP();
$messaggio->Host = 'Host SMTP';*/

//definiamo le intestazioni e il corpo del messaggio
$messaggio->From = 'mittente@dominio.it';
$messaggio->AddAddress('destinatario@altrodominio.it');
$messaggio->AddReplyTo('mittente@dominio.it');
$messaggio->Subject = 'Prova.';
$messaggio->Body = stripslashes('Ciao!!!!');

//definiamo i comportamenti in caso di invio corretto
//o di errore
if(!$messaggio->Send()){
    echo $messaggio->ErrorInfo;
}else{
    echo 'Email inviata correttamente!';
}

//chiudiamo la connessione
#$messaggio->SmtpClose();
unset($messaggio);
?>