Prova una cosa del genere:

Codice PHP:
...
$query = "SELECT p.nome FROM prodotti p, sottocategoria s, categoria c WHERE c.id_cat = s.id_cat AND p.id_sottocat = s.id_sottocat"
... 
Ho dato per scontato che nella tabella prodotti vi sia un campo nome.
Il campo id_cat nella tabella prodotti credo sia ridondante.

P.S.
Non ho provato la query.