Intanto vediamo la prima parte
Codice PHP:
<?php  
 // Stabiliamo una connessione MySQL 
mysql_connect("localhost", "root", "") or die(mysql_error()); 
mysql_select_db("gala") or die(mysql_error());  

// Eseguiamo la SELECT sulla tabella 'galgalaxy' 
//$result = mysql_query("SELECT * FROM galgalaxy") or die(mysql_error());
//gli eventuali errori è meglio gestirli e poter andare avanti invece che terminare il programma.
$result = mysql_query("SELECT * FROM galgalaxy");

//per gestire l'errore dipende da come vuoi che sia il comportamento,
//mysql_query() in caso di errore ritorna false, quindi puoi testare il valore di $result per
//conoscere l'esito della query, se è false è andata male, altrimenti tutto ok (non testare true, testa false)

// Salviamo alcune righe della tabella "galgalaxy" nella variabile $row
//qui c'è il tuo errore, questa carica a vuoto la prima riga (devi togliere l'istruzione)
mysql_fetch_array($result);

//qui carichi dalla seconda in poi perché la prima è andata
while($row = mysql_fetch_array($result)){
    // Visualizziamo sulla pagina il contenuto della riga letta     
    echo "Galassia: ".$row['galaxy']." - Sistema: ".$row['system']."- Posizione: ".$row['planet']."- Id giocatore: ".$row['player_id']."
"; 
}  
?>
Per la seconda parte il controllo sulla stampa puoi farlo così
Codice PHP:
//ammesso che usi POST per inviare i dati e che il checkbox si chiami checkbox
if($_POST['checkbox'] != "") {
    if($row['player_id'] != 0 && $row['planet'] == x) {
        echo "Galassia: ".$row['galaxy']." - Sistema: ".$row['system']."- Posizione: ".$row['planet']."- Id giocatore: ".$row['player_id']."
";
    }
}
else {
    if($row['player_id'] == 0 && $row['planet']==x) {
        echo "Galassia: ".$row['galaxy']." - Sistema: ".$row['system']."- Posizione: ".$row['planet']."- Id giocatore: ".$row['player_id']."
";
    }
} 
P.S. mi hai ricordato anni bui durante i quali non poter accedere ad internet ad una certa ora poteva significare una catastrofe