Scusa una cosa....magari mi è sfuggito un passaggio....perchè passi le variabili come post? con il codice che hai scritto non faresti prima a prenderle come parametri get dato che le passi nell'url???
Cioè, mi spiego:

tu fai
echo "<a href=\"contatore.php?Partner=".$rowPart[0]."&NomeFile=".$part[0].">".$rowPart[0]."</a>";
e poi prendi le variabili come
$nomePartner = $_POST["Partner"];
$nomeFile = $_POST["NomeFile"];

$queryCount = "UPDATE count_visit SET numeroVisite = numeroVisite + 1 WHERE nomePartner='$nomePartner'";

$result = mysql_query($queryCount) or die (mysql_error());
//echo($nomeFile);
echo "<script>location.href='../documenti/".$nomeFile."'</script>";
prova con:
Codice PHP:
$nomePartner = $_GET["Partner"]; 
$nomeFile = $_GET["NomeFile"];