come hai fatto tu gli dici:

"estrai tutte le righe dove cat_id è uguale a cat_parent_id e cat_id uguale a 3", ovvero nessuna.

Per estrarre tutte le sottocategorie della categoria 2 devi semplicemente

codice:
SELECT cat_id, cat_name, cat_image 
         FROM tbl_category 
         WHERE cat_parent_id = 2