quando apri la pagina html con l'applet embeddata, non ti si aggiunge automaticamente una iconcina sulla barra delle applicazioni con il logo di java? Se non dovesse essere il caso, vai nel pannello di controllo (o equivalente), cerca Java e in "Avanzate" dovresti trovare "Console java". Lì hai 3 opzioni:
Mostra console -> Ti apre direttamente la console con il log di tutto quanto avviene, errori/eccezioni incluse

Nascondi console -> Ti aggiunge l'icona di cui sopra, sta a te clickarci sopra per aprire la console

Non avviare console -> Non fa proprio niente. Pessima scelta in fase di progettazione e debug

Alternativa, usa appletviewer: essendo lanciabile da riga di comando, gli errori ed eventuali output di controllo che potresti aver aggiunto sono mostrati nella stessa finestra da cui hai lanciato l'appletviewer