codice:
 function mostra_capitale(sigla){ 
     jQuery('#capitale').html(sigla.campo); 
 }
Per prima cosa elimina la parte jQuery(function(){ che in questo caso è completamente inutile. Un json è un oggetto strutturato, per accedere ai suoi membri ti basta fare: oggetto.campo es:

var mioPrimoJson = { "nome" : "Mario", "cognome" : "Rossi", "anni" : 32 };

mioPrimoJson.nome // restituisce Mario
mioPrimoJson.cognome // restituisce Rossi
mioPrimoJson.anni // restituisce 32