se punteggio e' il valore che andrai a scrivere nella tabella esame, allora penso che devi modificare il form inserendo in action la url di una nuova pagina.
Nella nuova pagina leggerai la variabile $punteggio, con $_get e dovrai inserire l'istruzione "update esame set punteggio = $punteggio"
(penso che anche la visualizzazione della risposta per correttezza dovrebbe essere fatta in questa nuova pagina)