Sbagli il fatto che $id, $nomi e $cognomi sono array, dungue non puoi semplicemente scrivere $id, $nome e $cognome per stamparne il contenuto.
devi mettere la generazione dei tag <option> dentro un for e stampare $id[$i], $nome[$i] e $cognome[$i] per $i che va da 0 al numero di elementi-1 di uno qualunque degli array dato che hanno dimensioni uguali.

In alternativa puoi risparmiarti di mettere i dati dentro gli array, puoi farlo direttamente con il risultato della query
Codice PHP:
while($row = mysql_fetch_assoc($query))
{
    echo "<option value='".$row['id']."'>".$row['nomi']." ".$row['cognomi']."</option>";
}