ciao per risolvere il tuo problema ho assegnato 0 alla variabile totale dopo averla dichiarata e funziona, credo fosse solo un problema di inizializzazione della variabile.



codice:
<html>

<head>

<title>Funzione che conta quante volte la lettera specifica si ripete nella parola</title>

</head>

<body>
<script>
var totale ;
totale=0; 
var contatore;
var parola = prompt("Dimmi il nome della parola, usando caratteri alfabetici","");
var lettera = prompt("Ora dimmi la lettera, e ti dirò se è presente nella parola, e in quale quantità", "");
if (parola.indexOf(lettera)!= -1)
{

for (contatore =0; contatore <= parola.length; contatore++)

{ if (parola.charAt(contatore) == lettera )
{ totale = totale + 1;
alert(totale);
continue;

}
}
}
else
{
alert("La lettera che hai scritto non è presente nel testo");
}
alert(" Ci sono "+ totale + " lettera/e nella parola " + parola);
</script>
</body>

</html>
attenzione che manca una parentesi graffa