scusa ho riletto meglio il tuo messaggio, non avevo capito bene prima , quello che vuoi fare tu è proprio passare l'oggetto in sessione?

in questo caso devi solo evitare di reistanziarlo e richiamarlo direttamente con $_SESSION

es:
Codice PHP:
session_start();
class 
prova {

    public 
$str;

    public function 
provaFun() {
        echo 
$this->str;
        
$this->str++;
    }
    
}

if(!isset(
$_SESSION['obj'])){
    
    
$_SESSION['obj'] = new prova();
}

$_SESSION['obj']->provaFun();