non puoi, non c'è modo, e non è sbagliato il sistema con cui lo gestisce

concettualmente, è presente una diversità fondamentale: mentre su un normale applicativo (scritto in c++, c#, vb.net, java, delphi o qualsiasi altro linguaggio) tu avvii il programma ed il programma avvia la connessione, negli applicativi web tu avvii "di continuo" il programma

La pagina web è "il programma" quindi necessariamente deve essere (ri)avviata una connessione al database.
Esistono trucchetti come quello delle connessioni persistenti che permettono di riciclare le connessioni al database, cosi da ridurre i tempi delle operazioni, ma questo non garantisce, e non c'è modo di farlo senza collassare il sistema, che la connessione sia sempre la stessa.

Non è possibile gestire quest'aspetto automaticamente perché l'estensione di mysql non saprebbe quale connessione assegnare a chi (non si possono usare le sessioni in quanto pochi utilizzano la gestione nativa delle sessioni di php e non si può utilizzare il percorso alla pagina perché legare una specifica connessione ad una pagina farebbe scoppiare tutto), si dovrebbe gestire manualmente ... ma visto che si deve gestire manualmente, non ti viene più facile utilizzare le sessioni per immagazzinare le variabili di mysql e settarle quando ti serve? (o anche ad ogni avvio di una pagina php ... puoi benissimo mettere un array dentro, ad es, $_SESSION['MYSQL_VARS'] e settarle all'avvio, cosi come prenderle alla chiusura)