Se non dico una fesseria :
con ShowDialog il form padre perde il controllo in favore del form aperto con questo metodo, tutto il codice che segue allo ShowDialog e il padre stesso sono "bloccati" fino alla chiusura del form aperto con ShowDialog.
Per il fatto delle webrequests non so, penso dipenda dal tuo codice...
Invece di usare d1.ShowDialog puoi provare con d1.Show.