Non facile, volendo fare un lavoretto pulito... è tutto generato tramite javascript, senza alcun handle di riferimento e senza generazione di codice Html. A questo punto dipende da quale è il tuo scopo finale.

Se il tuo scopo è un programma "professionale" da come la vedo io l' unica è fare dll injection e "catturare" la richiesta di stampa sul desktop prima che venga inviata al sistema operativo.

Ma visto che la dll injection è tutto tranne che facile, ci sarebbe un sistema estremamente artigianale, ma che tutto sommato potrebbe funzionare, servendosi di SendKeys

Più esattamente, dopo che hai cliccato col mouse per aprire la TextArea:
-Lanciare un Control+A per selezionare tutta la pagina
-Lanciare un Control+C per copiare la selezione
-Lanciare un Control+V per incollarla negli appunti

A questo punto con un Clipboard.GetText puoi catturare TUTTO il testo.

Poi dovrai sbizzarrirti in qualche modo per scremare tutto quello che non ti interessa. Ad esempio vedo che prima della scritta nella TextArea compare un:
"...
▼"

il che potrebbe già essere un dato utile alla "scremazione". Ma qui ti passo la palla.