Ci sono diversi modi in php ma se vai su google e cercho send mail php troverai un po di esempi.
Sicuramente dovrai adattare le variabili passate dal tuo js e quindi avendo:

data: "name=" + name + "&subject=" + subject + "&email=" + email + "&message=" + message,

avrai nello script php $_POST['name'] $_POST['subject'] e tutti gli altri che corrisponderanno ai valori della form

L'esempio piu' classico e' questo
http://php.net/manual/en/function.mail.php

Visto che il tuo file .js come esito si aspetta "email_error" in caso di errore, nel tuo script php nel caso avrai come risultato di $invio = mail('caffeinated@example.com', 'My Subject', $message); (preso dal link sopra) FALSE, dovrai usare
codice:
$message = 'il testo nella mail';
$invio = mail('caffeinated@example.com', 'Oggetto email', $message);
if(!$invio){
echo 'false';
}else{
echo 'ok'; //anche se il tuo js controlla solo se non andato a buon fine
}