Originariamente inviato da mamo139
1 - Ma quindi se usiamo la formula di Taylor si tratta di una approssimazione? E in questo caso non ci dovrebbe essere una tilde sopra l'uguale per segnalare che c'è un approssimazione?
No; se le funzioni sono differenziabili (=l'incremento è lineare nelle derivate parziali a meno di termini di ordine superiore al primo) e usi le sole proprietà del differenziale non è un'approssimazione (il differenziale ti dice come in ogni punto puoi approssimare lineramente l'incremento, ma integrandolo torni alla funzione di partenza, quindi vedi che non stai perdendo informazioni).

Taylor è sicuramente un'approssimazione se lo usi per calcolare il valore della funzione "un po' più in là" di dove stai calcolando le derivate (non so bene cosa succeda se usi incrementi infinitesimi); in ogni caso, l'uso di Taylor in quella pseudo-dimostrazione è solo "euristico", infatti alla fine dice che la "vera" dimostrazione è diversa e più tecnica.
2 - cosa sarebbe l'invarianza in forma del differenziale? ho googlato ma non trovo una definizione di questa proprietà! Mi accontento di una intuizione informale della proprietà
Le mie dispense di meccanica analitica recitano:
Si fa poi uso di una proprietà elementare del differenziale (invarianza in forma del differenziale primo) secondo la quale nel differenziare una funzione composta si può procedere formalmente come se le variabili da cui essa dipende, a loro volta dipendenti da altre variabili, fossero invece indipendenti.
una volta fatto questo passaggio puoi poi sostituirci dentro il differenziale della funzione da cui dipende in luogo dell'infinitesimo corrispondente.