[aiuto] equazione differenziale

[mamo139]

ciao a tutti,

sapendo che qui ogni tanto c'è qualche fisico che bazzica provo a porre questo quesito di matematica.
Non capisco un passaggio nella formulazione del lemma di Ito e sono sicuro che per chi fa fisica sia facile.

Nella forma più semplice il lemma di Ito dice che:

per un processo di diffusione di Ito



e una funzione f(t,x) di due variabili reali t e x, due volte differenziabile in x e una volta differenziabile in t, si ha che



non capisco come viene costruita questa ultima equazione.

grazie per l'aiuto

[MItaly]

Da dove saltano fuori le x piccole? Comunque credo siano le solite cose che derivano da definizione e invarianza in forma del differenziale.

[mamo139]

Originariamente inviato da MItaly
Da dove saltano fuori le x piccole?

Allora le immagini le ho prese da wikipedia, qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/It%C5%8...sion_processes
sono le prime due...
comunque sono abbastanza sicuro che la x piccola parametro della funzione f(t,x) sia la X grande della prima

Originariamente inviato da MItaly
Comunque credo siano le solite cose che derivano da definizione e invarianza in forma del differenziale.

Ehm... io no capire

[MItaly]

Non mi spiego il termine in derivata seconda... f è funzione di t e x, perciò il suo differenziale avrà la usuale forma:



se ora consideriamo f come funzione composta con le X_t



per l'invarianza in forma del differenziale dovremmo poter brutalmente sostituire il dx con il dX_t definito prima:



... ma manca il termine in d^2f... non vorrei che da qualche parte facesse una qualche approssimazione al secondo ordine invece delle approssimazioni al primo che si fanno lavorando con i differenziali... (o, in alternativa, ho fatto qualche pasticcio con i differenziali, non sarebbe la prima volta)

---edit---
Ecco appunto... un paio di paragrafi sotto te lo spiega, e infatti usa la formula di Taylor per funzioni in più variabili al secondo ordine (l'equazione che ho ricavato io è valida solo al primo, e infatti manca il termine del secondo ordine). Credo che si potrebbe ricavarla sempre in forma infinitesima usando le 2-forme, ma è roba ampiamente oltre le mie conoscenze matematiche.

[mamo139]

mhh adesso capisco!! Grazie mille per la chiarificazione!! E' interessante per capire anche il vedere che si poteva fare solo fino al primo grado

Mi vengono due domande però:

1 - Ma quindi se usiamo la formula di Taylor si tratta di una approssimazione? E in questo caso non ci dovrebbe essere una tilde sopra l'uguale per segnalare che c'è un approssimazione?

2 - cosa sarebbe l'invarianza in forma del differenziale? ho googlato ma non trovo una definizione di questa proprietà! Mi accontento di una intuizione informale della proprietà

[MItaly]

Originariamente inviato da mamo139
1 - Ma quindi se usiamo la formula di Taylor si tratta di una approssimazione? E in questo caso non ci dovrebbe essere una tilde sopra l'uguale per segnalare che c'è un approssimazione?

No; se le funzioni sono differenziabili (=l'incremento è lineare nelle derivate parziali a meno di termini di ordine superiore al primo) e usi le sole proprietà del differenziale non è un'approssimazione (il differenziale ti dice come in ogni punto puoi approssimare lineramente l'incremento, ma integrandolo torni alla funzione di partenza, quindi vedi che non stai perdendo informazioni).

Taylor è sicuramente un'approssimazione se lo usi per calcolare il valore della funzione "un po' più in là" di dove stai calcolando le derivate (non so bene cosa succeda se usi incrementi infinitesimi); in ogni caso, l'uso di Taylor in quella pseudo-dimostrazione è solo "euristico", infatti alla fine dice che la "vera" dimostrazione è diversa e più tecnica.

2 - cosa sarebbe l'invarianza in forma del differenziale? ho googlato ma non trovo una definizione di questa proprietà! Mi accontento di una intuizione informale della proprietà

Le mie dispense di meccanica analitica recitano:

Si fa poi uso di una proprietà elementare del differenziale (invarianza in forma del differenziale primo) secondo la quale nel differenziare una funzione composta si può procedere formalmente come se le variabili da cui essa dipende, a loro volta dipendenti da altre variabili, fossero invece indipendenti.

una volta fatto questo passaggio puoi poi sostituirci dentro il differenziale della funzione da cui dipende in luogo dell'infinitesimo corrispondente.

[mamo139]

chiarissimo!!!

grazie

[MItaly]